Formes exponentielles (3) - Corrigé

Énoncé

On pose \(z=3-3\sqrt{3}i\) .

1. Déterminer la forme exponentielle de \(z\) .

2. En déduire la forme exponentielle des nombres complexes suivants.
    a.  \(2z\)
    b.   \(-3z\)
    c.   \(iz\)
    d.   \(\overline{z}\)
    e.   \(-i\overline{z}\)

Solution

1. On a : \(\left\vert 3- 3\sqrt{3}i \right\vert = \sqrt{9 + 9 \times 3} = 6\)
donc  \(z = 3-3\sqrt{3}i= 6 \left(\cfrac{3}{6}-i\cfrac{3\sqrt{3}}{6}\right)= 6 \left(\cfrac{1}{2}-i\cfrac{\sqrt{3}}{2}\right)= 6 \left( \cos\cfrac{-\pi}{3}+i\sin\cfrac{-\pi}{3}\right)= 6 \text e^{-\frac{i\pi}{3}}\)
donc \(z=6 \text e^{-\frac{i\pi}{3}}\) .

2. a. On a : \(2z = 2 \times 6 \text e^{-\frac{i\pi}{3}}= 12 \text e^{-\frac{i\pi}{3}}\) .

    b. On a :  \(-3z= -3 \times 6 \text e^{-\frac{i\pi}{3}}= 3 \text e^{i\pi} \times 6 \text e^{-\frac{i\pi}{3}}= 18 \text e^{i\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)}= 18 \text e^{\frac{2i\pi}{3}}\) .

    c. On a :   \(iz= i \times 6 \text e^{-\frac{i\pi}{3}}= \text e^{\frac{i\pi}{2}} \times 6 \text e^{-\frac{i\pi}{3}}= 6 \text e^{i\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)}= 6 \text e^{\frac{i\pi}{6}}\) .

    d. On a :   \(\overline{z}= \overline{6 \text e^{-\frac{i\pi}{3}}}= \overline{6} \times \overline{ \text e^{-\frac{i\pi}{3}}}= 6 \text e^{\frac{i\pi}{3}}\) .

    e. On a :  \(-i\overline{z}= -i \times 6 \text e^{\frac{i\pi}{3}}= \text e^{\frac{-i\pi}{2}} \times 6 \text e^{\frac{i\pi}{3}}= 6 \text e^{i\left(\frac{-\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)}= 6 \text e^{\frac{-i\pi}{6}}\) .